Codeforces 989E A Trance of Nightfall 矩阵快速幂+DP

改编自Codeforces 989E A Trance of Nightfall 矩阵快速幂+DP

题意:二维平面上右一点集SS,共nn个元素,开始位于平面上任意点PP,PP不一定属于SS,每次操作为选一条至少包含SS中两个元素和当前位置PP的直线,每条直线选取概率相同,同一直线上每个点Q \in SQ∈S 选取概率相同,QQ次询问 包含两个元素t,mt,m 即点PP到tt共操作mm次的最大概率

打了场CFCF 结果DD题死活调不出来 只能一大早来补题了

可以想到记录f[i][j][k]f[i][j][k]表示从点ii到点jj走kk步的概率 这个过程我们可以通过记录2^x2x的矩阵来存储

之后可以发现对于一个询问t,mt,m 我们可以通过矩阵的转移得到走m-1m−1步的答案 之所以不能直接走mm步是因为第一步的点P不一定在SS内 分析一下就可以发现 一条线ll上的点的概率就\frac {\sum_{(i \in S)}probility[i]}{\sum_{(i \in S)}1}∑(i∈S) 1∑(i∈S) probility[i]  对所有直线取个maxmax就是答案了

复杂度 O((n + q) \cdot n^2 \cdot \log m)O((n+q)⋅n2⋅logm)

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define pa pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl(x) memset(x,0,sizeof x)
#ifdef Devil_Gary
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define bug(x)
#define debug(...)
#endif
const int INF = 0x7fffffff;
const int N=2e2+5;
/*
char *TT,*mo,but[(1<<15)+2];
#define getchar() ((TT==mo&&(mo=(TT=but)+fread(but,1,1<<15,stdin),TT==mo))?-1:*TT++)//*/
inline int read(){
    int x=0,rev=0,ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')rev=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return rev?-x:x;
}
int n,flg,x[N],y[N];
double ans,pro[N],tmp[N];
vector<vector<int> > lines;
struct matrix{
    double g[N][N];
    matrix operator * (const matrix&a){
        matrix c;cl(c.g);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)    
                for(int k=0;k<n;k++)
                c.g[i][j]+=g[i][k]*a.g[k][j];
                return c;
    }
}f[15];
pa fix(pa a){
    if(a.fi==0) return mk(0,1);
    if(a.se==0) return mk(1,0);
    int d=__gcd(a.fi,a.se);
    a.fi/=d,a.se/=d;
    if(a.fi<0) a.fi*=-1,a.se*=-1;
    return a;
}
void add(int p){
    map<pa ,vector<int>>cnt;
    for(int i=0;i<n;i++) if(i!=p){
        int dx=x[i]-x[p],dy=y[i]-y[p];
        cnt[fix(mk(dx,dy))].pb(i);
    }
    int sz=cnt.size();
    for(auto u:cnt){
        u.se.pb(p),flg=1;
        for(auto v:u.se){
            f[0].g[p][v]+=1.0/u.se.size()/sz;
            if(v<p) flg=0;
        }
        if(flg) lines.pb(u.se);
    }
}
int main(){
#ifdef Devil_Gary
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    n=read();
    for(int i=0;i<n;i++) x[i]=read(),y[i]=read();
    for(int i=0;i<n;i++) add(i);
    for(int i=1;i<=14;i++)  f[i]=f[i-1]*f[i-1];
    for(int Q=read();Q;Q--){
        int t=read()-1,m=read()-1;
        for(int i=0;i<n;i++) pro[i]=0;pro[t]=1.0; 
        for(int i=0;i<=14;i++){
            if(m&(1<<i)){
                for(int j=0;j<n;j++) tmp[j]=pro[j],pro[j]=0;
                for(int j=0;j<n;j++) for(int k=0;k<n;k++){
                    pro[j]+=tmp[k]*f[i].g[j][k]; 
                }
            }
        }
        ans=0;
        for(auto line:lines){
            double temp=0;
            for(auto u:line) temp+=pro[u];
            ans=max(ans,temp/line.size());
        }
        printf("%.12lf\n",ans);
    }
}

两个点

一个是马可夫链(状态矩阵)的反推

第二个点是怎么把在一条线上的点聚集起来(全是整点的情况下)

 

pa fix(pa a){
    if(a.fi==0) return mk(0,1);
    if(a.se==0) return mk(1,0);
    int d=__gcd(a.fi,a.se);
    a.fi/=d,a.se/=d;
    if(a.fi<0) a.fi*=-1,a.se*=-1;
    return a;
}
    for(int i=0;i<n;i++) if(i!=p){
        int dx=x[i]-x[p],dy=y[i]-y[p];
        cnt[fix(mk(dx,dy))].pb(i);
    }

这边用的是向量v = (dx, dy) 然后把v变成一个方向向量(除以dx dy的gcd),然后将一个方向的聚集在vector里

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